e^x/(1-x)的泰勒展开
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e^x=1+x+(1/2)x
+(1/6)x
+o(x
)
sinx=x-(1/6)x
+o(x
)
上面两式相乘得：（只计算三次之内的）
e^xsinx=x+x
+[(1/2)-(1/6)]x
+o(x
)
因此
lim[x→0]
[e^xsinx-x(1+x)]/x
=lim[x→0]
[x+x
+(1/3)x
+o(x
)-x(1+x)]/x
=lim[x→0]
[(1/3)x
+o(x
)]/x
+(1/6)x
+o(x
)
sinx=x-(1/6)x
+o(x
)
上面两式相乘得：（只计算三次之内的）
e^xsinx=x+x
+[(1/2)-(1/6)]x
+o(x
)
因此
lim[x→0]
[e^xsinx-x(1+x)]/x
=lim[x→0]
[x+x
+(1/3)x
+o(x
)-x(1+x)]/x
=lim[x→0]
[(1/3)x
+o(x
)]/x
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e^x=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+o(x³)
sinx=x-(1/6)x³+o(x³)
上面两式相乘得：（只计算三次之内的）
e^xsinx=x+x²+[(1/2)-(1/6)]x³+o(x³)
因此
lim[x→0]
[e^xsinx-x(1+x)]/x³
=lim[x→0]
[x+x²+(1/3)x³+o(x³)-x(1+x)]/x³
=lim[x→0]
[(1/3)x³+o(x³)]/x³
sinx=x-(1/6)x³+o(x³)
上面两式相乘得：（只计算三次之内的）
e^xsinx=x+x²+[(1/2)-(1/6)]x³+o(x³)
因此
lim[x→0]
[e^xsinx-x(1+x)]/x³
=lim[x→0]
[x+x²+(1/3)x³+o(x³)-x(1+x)]/x³
=lim[x→0]
[(1/3)x³+o(x³)]/x³
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