Question

数列an满足a(n+1)+(-1)∧n an=2n-1,则an的前40项和是

Answer 1

第一种方法：
n为奇数时，
a(n+1)-an=2n-1
a(n+2)+a(n+1)=2(n+1)-1
[a(n+2)+a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2
a(n+2)+an=2，即数列相邻两奇数项和恒为2
a1+a3+...+a39=(a1+a3)+(a5+a7)+...+(a37+a39)=10×2=20
a(n+1)+(-1)ⁿ·an=2n-1
a2-a1=2×1-1
a4-a3=2×3-1
…………
a40-a39=2×39-1
累加，a2+a4+...+a40-(a1+a3+...+a39)=2×(1+3+...+39)-20=2×20²-20=780
a2+a4+...+a40=a1+a3+...+a39+780=20+780=800
a1+a2+...+a40=(a1+a3+...+a39)+(a2+a4+...+a40)=20+800=820
第二种方法：
n为奇数时，
a(n+1)-an=2n-1
a(n+2)+a(n+1)=2(n+1)-1
[a(n+2)+a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2
a(n+2)+an=2
n为偶数时，
a(n+1)+an=2n-1
a(n+2)-a(n+1)=2(n+1)-1
[a(n+2)-a(n+1)]+[a(n+1)+an]=4n
a1+a2+...+a40
=(a1+a3+...+a39)+(a2+a4+...+a40)
=(a1+a3)+(a5+a7)+...+(a37+a39)+(a2+a4)+(a6+a8)+...+(a38+a40)
=2+2+...+2+4×2+4×6+...+4×38
=10×2+4×(2+6+...+38)
=20+8×(1+3+...+19)
=20+8×10²
=20+800
=820
两种方法的结果是一样的。

Answer 2

解：
n为奇数时
a(n+1)-an=2n-1
(1)
a(n+2)+a(n+1)=2(n+1)-1
(2)
(2)-(1)
a(n+2)+an=2，即数列的奇数项从第一项开始，两个一组，和为定值2。
60/2=30，30/2=15，奇数项正好分成15组，奇数项的和=2×15=30
a2-a1=2×1-1
a4-a3=2×3-1
…………
a60-a59=2×59-1
累加
(a2+a4+...+a60)-(a1+a3+...+a59)=2(1+3+...+59)-30
a2+a4+...+a60=(a1+a3+...+a59)+2(1+3+...+59)-30=30+2(1+3+...+59)-30
=2(30×1+30×29×2/2)=450
a1+a2+...+a60=450+30=480
所以数列{an}前60项的和为480。