Question

多元函数微分学的疑惑？

例题1.11.2
第二个结论是对的也就是说(0，0)点存在，为什么第三个结论在证明过程当中，用公式法得到(0，0)不存在。虽然证明方式不一样，但是本质难道不是都是计算出该点的值在比较。答案不是矛盾了吗？希望有大神详细说一说，谢谢了。？





Answer 1

结论2是用定义法求的(0,0)点的对x的一阶偏导，结果是0
结论3是用公式法求的对x的一阶偏导，并且令x和y均趋向于0时偏导不存在，但是本质上说这两个是不一样的，因为公式法求偏导的时候只是趋向于原点，并不是真正是原点。
这个道理可以类比一元函数极限，结论2相当于用定义法求出函数在x=0时的一阶导为0，结论3则是用公式法求出函数的一阶导，并令x趋向于0时的极限。本质上是不一样的。

追问

也就是说定义法是趋于而实际不是该点，公式法是把该点带入是吧。但是为什么第二点不能用公式法呢？用了它就错了呀。

追答

因为题设函数分了段，分成了xy同时为0也就是取原点，和xy同时非0两种情况，而且当x=y=0的时候函数值为0，所以这个时候最好用定义法求偏导数

其实理论上说定义法和公式法都可以用

只不过要具体情况具体分析

结论2研究存在性，只需要求出来就行，当然是说求出来确定的数值(不是无穷)

结论3是研究一阶偏导数在原点处的连续性，那么就有存在性和相等性两个因素

结论2求出来原点处的偏导数都是0

说明了存在性

但是结论3用公式法(因为xy非0时有具体的函数表达式)求导之后取趋向于原点的极限，发现极限不存在

这就说明极限值≠函数值(这里说的函数值一阶偏导数)

所以一阶偏导数在原点处不连续

（有点绕

（但是相信你能慢慢想通

追问

大哥，能不能帮忙解一下这个定积分的详细过程，我用分部积分无限套娃。

弄出来了。