变限积分求导的问题
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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你说的是：
（1）f(x)=
∫[0,x]xf(t)dt
=
x∫[0,x]f(t)dt，
f'(x)=
∫[0,x]f(t)dt+xf(x)。
（2）g(x)
=
∫[0,x]tf(2x-t+1)dt，
先做变量替换u
=2x-t+1，则t
=
2x-u+1，dt
=
-du
g(x)
=∫[0,x]tf(2x-t+1)dt
=
∫[2x+1,x+1](2x-u+1)f(u)(-1)du
=
∫[x+1,2x+1](2x-u+1)f(u)du
=
2x∫[x+1,2x+1]f(u)du
-
∫[x+1,2x+1]uf(u)du
+
∫[x+1,2x+1]f(u)du，
于是，
g'(x)
=
(d/dx){2x∫[x+1,2x+1]f(u)du
-
∫[x+1,2x+1]uf(u)du
+
∫[x+1,2x+1]f(u)du}
=
……
（用求导法则和积分上限函数的求导法来求解，这里不好写，留给你了）
（1）f(x)=
∫[0,x]xf(t)dt
=
x∫[0,x]f(t)dt，
f'(x)=
∫[0,x]f(t)dt+xf(x)。
（2）g(x)
=
∫[0,x]tf(2x-t+1)dt，
先做变量替换u
=2x-t+1，则t
=
2x-u+1，dt
=
-du
g(x)
=∫[0,x]tf(2x-t+1)dt
=
∫[2x+1,x+1](2x-u+1)f(u)(-1)du
=
∫[x+1,2x+1](2x-u+1)f(u)du
=
2x∫[x+1,2x+1]f(u)du
-
∫[x+1,2x+1]uf(u)du
+
∫[x+1,2x+1]f(u)du，
于是，
g'(x)
=
(d/dx){2x∫[x+1,2x+1]f(u)du
-
∫[x+1,2x+1]uf(u)du
+
∫[x+1,2x+1]f(u)du}
=
……
（用求导法则和积分上限函数的求导法来求解，这里不好写，留给你了）
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