Question

大一高数。空间曲线在某一点的切线和法平面怎么求？

Answer 1

这个比较复杂了，根据空间曲线的表达形式，一般有两种方法：
1）如果为参数曲线形式，就比较简单了，分别求x，y，z对参数t的倒数，将该点的值带入，就得到该点的切向量，根据点向式和点法式写出切线和法平面。
2）如果为两平面交线的形式，就稍微复杂一点，需要根据方程组求出z对x和y对x的偏导数，然后写出切向量，再进一步写出切线和法平面

Answer 2

9.
令
f=
√x+√y+√z-√a,
则
f'
=1/(2√x),
f'
=1/(2√y),
f'
=1/(2√z),
在曲面上点
p(
m,
n,
(√a-√m-√n)^2
)
处，
f'
=1/(2√m),
f'
=1/(2√n),
f'
=1/[2(√a-√m-√n)],
切平面方程为
(x-m)/(2√m)+(y-n)/(2√n)+[z-
(√a-√m-√n)^2]/[2(√a-√m-√n)]
=
0
即
x/√m+y/√n+z/(√a-√m-√n)=
√a
即
x/√(am)+y/√(an)+z/[a-√(am)-√(an)]=
1
在三坐标轴上截距之和
√(am)+√(an)+[a-√(am)-√(an)]
=
a。
10.
z
=
xf(y/x),
z'
=
f(y/x)
-
(y/x)f'(y/x),
z'
=
f'(y/x)
在曲面上点
p(
a,
b,
af(b/a)
)
处，
z'
=
f(b/a)
-
(b/a)f'(b/a),
z'
=
f'(b/a),
切平面方程为
[f(b/a)
-
(b/a)f'(b/a)](x-a)+
f'(b/a)(y-b)-[z-
af(b/a)]
=
0
即
x[f(b/a)-(b/a)f'(b/a)]x+yf'(b/a)-z
=
a[f(b/a)-(b/a)f'(b/a)]+bf'(b/a)-af(b/a)
=
0
故切平面均过原点即交于原点。