Question

设A为5阶正交矩阵，且｜A｜>0，那么A的伴随矩阵A'的一个特征值为？ A.det(

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

反证法：
因为正交阵特征值的模均为1，且复特征值成对出现，所以若1不是a的特征值，那么a的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。注意到a是奇数阶的，所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值
-1.
这样，利用矩阵a的所有特征值之积就等于矩阵a的行列式
deta
可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为
deta=1.
但是，奇数个-1的乘积为
-1，成对出现的复特征值之积为1，它们的乘积也是-1，与
deta=1
矛盾。因此假设不成立，1必为a的一个特征值。

Answer 3

∵AAT=2E，∴两边取行列式有|A|2=|A||AT|=|2E|=16，又：|A|＜0，∴|A|=-4，由于AAT=2E，故(A2)(A2)T＝E，因而：A2是正交矩阵，∴A2的特征值是1或-1，又因为：|A|＝∏λi，其中λi是矩阵A的特征值，且|A|=-4＜0，∴-1必是A2的特征值，∴?2必是A的特征值；...