Question

求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值。。求详解。

Answer 1

设x,y轴上的截距分别为a,b
因为y=1/x
(x>0)的切线与坐标轴围成的直角三角形面积等于常数，a,b分别为该三角形的直角边长。
显然，直角三角形面积为常数时，等腰直角三角形直角边长之和最小
于是可得截距都为2，截距之和的最小值为4

Answer 2

y=1/x
(x>0)求导得：y’=-1/x^2,
设切点为(a,1/a),则切线斜率为-1/a^2,
所以切线方程为y-1/a=-1/a^2(x-a),
令x=0得：y=2/a.
令y=0得：x=2a.
截距之和为2/a+2a≥2√(2/a•2a)=4，a=1时取到等号。
此时切线方程为y=-x+2.