Question

已知函数f(x)=-acos2x-2根号3sinxcosx+2a+b的定义域为[0,π/2],值域为[-5,1],求常

Answer 1

f(x)=-acos2x-2√3sinxcosx+2a+b=
-acos2x-
√3
sin2x
+2a+b=-
√（
a²+3 ）sin(2x+φ)+2a+b
(最后一步用的是辅助角公式：形如asinx+bcosx=√(
a²+b²)sin(x+φ),tanφ=b/a,是个辅助角)
于是f(0)=- √（
a²+3 ）sinφ+2a+b，f(π/2)=√（
a²+3 ）sinφ+2a+b(其中sinφ=±a/√（
a²+3 ）)
因为φ不等于±π/2（否则tanφ不存在），所以f(0)和f(π/2)不会是最值。
由于定义域跨度为π/2，占周期的一半(周期T=2π/2=π),于是分四种情况（可以画画图看看）：
1.f(0)是最大值，最小值在[0,π/2]间；
2.f(0)是最小值，最大值在[0,π/2]间；
3.f(π/2)是最小值，最大值在[0,π/2]间；
4.f(π/2)是最大值，最小值在[0,π/2]间。
总结一下，意思就是：±√（a²+3）sinφ+2a+b和±√（a²+3）+2a+b，一个值为-5，另一个为1.
把sinφ的值代入得：±a+2a+b和±√（a²+3）+2a+b，一个值为-5，另一个为1.
因为√（a²+3）的绝对值比a大，所以只能：
1.√（a²+3）+2a+b=1，±a+2a+b=-5；
2.-√（a²+3）+2a+b=-5，±a+2a+b=1。
解得a=±11/4
b则有8个值：-53/4,-31/4,-29/4,-9/4,-7/4,13/4,15/4,37/4.
（我如果有忽略的地方还请指出）

Answer 2

假设存在实数a,b使得函数的值域为[-5,1]
y=-acos2x-√3asin2x+2a+b
=-2asin(2x+π/6)+2a+b
0<=x<=π/2
π/6<=2x+π/6<=7π/6
-1/2<=
sin(2x+π/6)<=1
a>0
y
max=a+2a+b=1
y
min=-2a+2a+b=-5
a=2,b=-5
存在
注:
a<0,也可证明存在
y
min=a+2a+b=-5
y
max=-2a+2a+b=1
b=1,a=-2