Question

关于高中数学数列求和问题

Answer 1

分块求和就行了。你看哈，An=n×(n+1)=n
2
+n
Sn=【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】+【1+2+3+……+（n-1）+n】
我们这块【1+2+3+……+（n-1）+n】好求，
现在问题是【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】怎么求。
我们这样处理（注意哦，这是一个重要的思想）：
n
3
－（n-1）
3
=
3n
2
－3n
+1
（n-1）
3
－（n-2）
3
=3（n-1）
2
－3（n-1）+1
………………
2
3
－1
3
=3×2
2
-3×2
+1
叠加得：n
3
－1
3
=3【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
-1】-3【2+3+4+……+n】+（n-1）×1
所以【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】=（2n
3
+3n
2
+2n）/6
问题解决了。
Sn=（2n
3
+6n
2
+5n）/6

Answer 2

分块求和就行了。你看哈，An=n×(n+1)=n
2
+n
Sn=【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】+【1+2+3+……+（n-1）+n】
我们这块【1+2+3+……+（n-1）+n】好求，
现在问题是【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】怎么求。
我们这样处理（注意哦，这是一个重要的思想）：
n
3
－（n-1）
3
=
3n
2
－3n
+1
（n-1）
3
－（n-2）
3
=3（n-1）
2
－3（n-1）+1
………………
2
3
－1
3
=3×2
2
-3×2
+1
叠加得：n
3
－1
3
=3【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
-1】-3【2+3+4+……+n】+（n-1）×1
所以【1
2
+2
2
+3
2
+……+（n-1）
2
+n
2
】=（2n
3
+3n
2
+n）/6
问题解决了。
Sn=（2n
3
+6n
2
+4n）/6