已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,直线l的参数方程为x=tcosαy=1+tsinα(t为参数,0≤α<π
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(Ⅰ)由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x,
从而曲线C的形状是顶点在原点,焦点为(1,0)的抛物线.
(Ⅱ)∵直线l过点(1,0)和点(0,1),∴直线l的斜率为-1,从而其倾斜角α=
3π
4
,
∴直线l的参数方程为
x=?
2
2
t
y=1+
2
2
t
(t为参数),代入y2=4x,化简可得t2+6
2
t+2=0,
设点A、B对应的参数分别为t1、t2,则
t1+t2=-6
2
,t1?t2=2,
∴|AB|=|t1?t2|=
(t1+t2)2?4t1t2
=8.
从而曲线C的形状是顶点在原点,焦点为(1,0)的抛物线.
(Ⅱ)∵直线l过点(1,0)和点(0,1),∴直线l的斜率为-1,从而其倾斜角α=
3π
4
,
∴直线l的参数方程为
x=?
2
2
t
y=1+
2
2
t
(t为参数),代入y2=4x,化简可得t2+6
2
t+2=0,
设点A、B对应的参数分别为t1、t2,则
t1+t2=-6
2
,t1?t2=2,
∴|AB|=|t1?t2|=
(t1+t2)2?4t1t2
=8.
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