Question

求解：一道解椭圆方程的数学题

椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若|AB|=2√2，O为坐标原点，OC的斜率为（√2）/2，求a,b的值。[a=1/3,b=（√2）/3] 要解题过程

Answer 1

设椭圆方程：aX^2
by^2=1
(a、b>0)
两交点为p(x1,x1
1),Q(x2,x2
1)
联立直线方程消去y：(a
b)X^2
2bx
b-1=0。
利用交点弦公式:|PQ|=根(1
k^2)*根((x1
x2)^2-4x1x2)=根10/2；
利用韦达定理
=>(a
b-ab)/(a
b)^2=5/16
再由垂直=>(x1,x1
1)·(x2,x2
1)=0=>利用韦达定理的a
b=2
带入(a
b-ab)/(a
b)^2=5/16=>ab=3/4
=>a=3/2;b=1/2或a=1/2,b=3/2;
=>椭圆方程为：
3(x^2)/2
(y^2)/2=1
或(x^2)/2
3(y^2)/2=1