Question

一道初二数学竞赛几何证明题,急~

已知P为RT三角形ABC的斜边BC上一点,Q为PC中点,过P点作BC的垂线,交AB于R,H为AR中点,过H向C所在一侧作射线HN垂直AB.证明:射线HN上存在一点G,使AG=CQ,BG=BQ.
抱歉这题没有图,但是可以根据题目自己画出图来，我们老师说这题要用到什么反证法和构造法当中的一个,我解不出来,请各位来帮忙,把具体证明的过程写出来，谢谢了!有追加悬赏.
再试试？我也在想，这题确实难了，我们老师说什么最后证明的两个，要把其中一个看成已知量。

Answer 1

其实比较简单。
先在HN上找一点G使AG=CQ，只要证明BG=BQ。
BG^2-AG^2=BH^2-AH^2=(BH-AH)(BH+AH)=AB*(BH-RH)=AB*BR,容易知道三角形ABC相似于三角形BPR，所以BR*AB=BP*BC，所以（BG-AG）（BG+AG）=(BG-CQ)(BG+CQ)=BP*BC。把BG当作未知量，CQ，BP*BC当作已知量。BG^2-CQ^2=BP*BC这个关于BG的一元二次方程有2个解且互为相反数。因此正解只有一个。注意到若BG=BQ则（BG-CQ）（BG+CQ）=(BQ-PQ)*BC=BP*BC满足方程，所以BG=BQ是该方程的唯一解即BG=BQ。
我觉得我说得很清楚了。

Answer 2

太难了，无能无力
唉

Answer 3

晕，看错线了
xruox是正确的，
最后一点没表述好，但是完全可以理解

Answer 4

这题目关键是要先假设G存在证明当BG=BQ时候AG=CQ，然后再证明BQ大于等于BH（大角对大边）使得G点肯定存在。。。。具体证明我仔细看下。。。