Question

已知△ABC中，bcosC=（2a－c）cosB.①求B.②求y=cos²A+cos²C的值域。

Answer 1

(1)由bcosC=(2a-c)cosB得：
cosC＝(2a-c)cosB/b
因为在三角形中恒有：bcosC+ccosB＝a，所以cosC=(a－ccosB)/b
所以(2a-c)cosB/b＝(a－ccosB)/b，所以cosB=1/2，所以B=60度
(2)由
正弦定理
及已知
∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB即sin(B+C)=2sinAcosB
又sin(B+C)=sinA
∴cosB=1/2
∴A+C=(2/3)π
.......①
y=cos²A+cos²C=1+1/2(cos2A+cos2C)
由①式
，消去“角C”∴y＝1＋1/2[1/2
cos2A+(√3)/2
sin2A]=1+1/2
cos(2a+π/3)
∵0＜A＜π,0＜C=2/3π-A＜π
∴0＜A＜2/3π
∴
π/3<2A+π/3<5/3
π
∴－1≤cos(2A+π/3)＜1/2
,1/2≤1+1/2cos(2A+π/3)＜5/4即1/2≤y=cos²A+cos²C＜5/4