Question

已知椭圆x²/4＋y²=1,直线l经过点M（1,0）且与椭圆相交于AB两点

Answer 1

设ab:x=my-1,①
代入x^2/4+y^2=1,②
得x^2+4(m^2y2-2my+1)=4,
整理得(1+4m^2)y^2-8my=0,
解得y1=0,y2=8m/(1+4m^2),
∴ab的中点p的坐标满足：y=(y1+y2)/2=4m/(1+4m^2),
由①，m=(x+1)/y,代入上式，得
y=4(x+1）/[y+4(x+1)^2/y],
化简得y^2+4(x+1)^2=4(x+1),
4x^2+y^2+4x=0,为所求.
（2）|ab|=|y1-y2|√(1+m^2),
o到ab的距离d=1/√(1+m^2),
∴s△oab=(1/2)|ab|d=4|m|/(1+4m^2)<=1/2,当m=土1/2时取等号，
∴s△oab的最大值=1/2，这时直线l方程是x=土y/2-1,即2x干y+2=0.