Question

什么叫收敛于x0的数列{xn}？什么意思啊，谢谢！

Answer 1

答：
这个是海涅定理，是非常重要的一个定理了，连接了函数极限和数列极限，其表达方式很多，但是不幸的是，同济这版用了一个非常愚蠢的表达方式！
这里重新给你梳理一下：
1、写成数学表达方式，有可能一一看就明白了：
lim(x→x0)
f(x)
=
a

<=>
∀数列{x(n)}，当满足：lim(n→∞)
x(n)
=
x0，且x(n)≠x0时：
lim(n→∞)
f[x(n)]
=
a
2.说明：
1）数列{x(n)}是任意的，只要满足：f[x(n)]有意义，那么数列{x(n)}没有任何局限;
2) 数列{x(n)}和x0没有任何关系，而且数列中的每一项x(n)都不能等于x0;
3)如果把数列看成以n+为变量的离散函数，那么，
该定理表明：复合函数的极限具有传递性！
lim(x→x0)
f(x)
=a
<=>
lim(t→t0)g(t)=x0,
lim(t→t0)
f[g(t)]
=a
上述定理非常有用，可以很快的应用于计算和证明！
4）该定理往往用于证明和求极限，例如：
求lim(n→0)
（1+n）^(1/n)，其中n∈n，这里不用数学归纳法！
考查函数y=(1+x)^(1/x)，根据重要极限，得：lim(x→0)
（1+x）^(1/x)
=e
令：x(n)=1/n，当lim(n→∞)
x(n)
=
0，根据海涅定理，必有：
lim(n→∞)
（1+1/n）^n
=e
即：lim(n→0)
（1+n）^(1/n)
=e