Question

设f（x）是连续正值函数。证明:当x≥0时，函数ψ（x）=∫[0，x]tf（t）dt？

∫[0，x]f（t）dt单调严格增，详细过程

Answer 1

设F(x)是f(x)的一个原函数，根据牛顿莱布尼茨公式，对f(t)在a(x)->b(x)上的积分为
F(b(x))-F(a(x))
对这个积分求导得到F'(b(x))b'(x) -F'((a(x))a'(x)=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)
那么题目中ψ'（x）=xf(x) >0
所以单调递增