Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．（...

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n． （1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）； （2）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-B1-A}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

解：（1）令n=1，S1=2a1-3．∴a1=3
又Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，
两式相减得，an+1=2an+1-2an-3，（3分）
则an+1=2an+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{an+3}是公比为2的等比数列．
则an+3=（a1+3）•2n-1=6•2n-1，∴an=6•2n-1-3．（8分）
（3）∵an=6•2n-1-3，
∴Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×4-3）+…+（6×2n-1-3），
∴Sn=
6(1-2n)
1-2
-3n=6•2n-3n-6．（12分）