Question

设,函数.()求的单调区间;()若对于任意,不等式恒成立,求的最大值.

设,函数. ()求的单调区间; ()若对于任意,不等式恒成立,求的最大值.

Answer 1

先求出函数的导函数,然后解不等式和,即可求出函数的单调区间;
根据对于任意,不等式恒成立,将分离出来,然后研究另一侧函数的最值即可求出的最值.
()解:的导数.
令,解得,或;
令,解得.
从而的单调递增区间为,;
单调递减区间为
()解:由,得
由()得,函数在内单调递增,
在内单调递减,
从而当时,函数取得最大值
因为对于任意,不等式恒成立,
故,即,
从而的最大值是
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于时原函数单调递增,当导函数小于时原函数单调递减,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于中档题.