Question

已知函数f(n)=cosnπ5(n∈N)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f...

已知函数f(n)=cosnπ5(n∈N)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)f(11)+f(22)+f(33)的值为（　　）A．1B．cosπ5C．12D．2

Answer 1

解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cosπ5+cos2π5）+（cos3π5+cos4π5）
=-（cos4π5+cos3π5）+（cos3π5+cos4π5）=0，f（5）=cosπ=-1；
f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+π5）+cos（π+2π5）+cos（π+3π5）+cos（π+4π5）
=-（cosπ5+cos2π5+cos3π5+cos4π5）
=-[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0
函数f(n)=cosnπ5(n∈N)的周期T=2ππ5=10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2003）=f（2001）+f（2002）+f（2003）
=f（1）+f（2）+f（3）=cosπ5+cos2π5+cos3π5=cosπ5
f（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cosπ5+cos2π5+cos3π5=cosπ5
∴原式=1
故选A．