Question

已知O是△ABC中任意一点,(如图所示)求证:二分之一(AB+AC+BC)

已知O是△ABC中任意一点,(如图所示)求证:二分之一(AB+AC+BC)

Answer 1

证明：在三角形AOB中,OA+OB大于AB,
在三角形BOC中,OB+OC大于BC,
在三角形AOC中,OC+OA大于CA,
以上三式相加得：2（OA+OB+OC)大于AB+BC+CA,
所以
1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC.
延长AO交BC于D,
在三角形ABD中,AD小于AB+BD,
在三角形COD中,OC小于OD+DC,
以上两式相加得：AD+OC小于AB+BD+OD+DC
因为
AD=OA+OD,BD+DC=BC,
所以
OA+OD+OC小于AB+BC+OD,
即：OA+OC小于AB+BC,
同理
OC+OB小于CA+AB,
OB+OA小于BC+CA
以上三式相加得：2（OA+OB+OC)小于2（AB+BC+CA)
所以
OA+OB+OC小于AB+BC+CA,
又因为
1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC,
所以
1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC小于AB+BC+CA.