Question

分解因式(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5

哪位大神帮帮忙用轮换对称式或者交代对称式的方法！！

Answer 1

显然，x=-y时，多项式=0
所以，多项式有因式x+y
根据轮换对称性，
多项式还有因式y+z和z+x
设
(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5
=(x+y)(y+z)(z+x)[a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)]
【其中，a和b是待定系数】
代入x=y=1，z=0，得到
30=4a+2b
①
代入x=y=z=1，得到
240=24a+24b
②
解①②形成的方程组，得到
a=b=5
综上，
(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5
=5(x+y)(y+z)(z+x)(x²+y²+z²+xy+yz+zx)