Question

已知a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求证0>c>-1/3

Answer 1

题目条件中应该有a>b>c吧？
证明：
一方面，由：a^+b^+c^=1知：1>a>b>c，所以a,b同为正（如果b<=0，则a=
1+(-b-c)>1，矛盾，因此b>0，a>b>0），于是a^+b^<
a^+2ab+b^=
(a+b)^
---
@
另一方面，平方平均值>=算术平均值：根号下[(a^+b^)/2]>=
(a+b)/2，这里a>b不能取等，变形得：a^+b^>
(1/2)(a+b)^
---
#
综合@,#式得：(1/2)(a+b)^<a^+b^<(a+b)^
或：(1/2)(a+b)^+c^<a^+b^+c^<(a+b)^+c^
于是再由a^+b^+c^=1及a+b=1-c易得：(1/2)(1-c)^+c^<
1<
(1-c)^+c^
即：3c^-2c-1<0
且
c^-c>0
因式分解得：(3c+1)(c-1)<0
且
c(c-1)>0
---
*
又因为c<1，所以*式的解为：-1/3<
c<
0
证毕~