Question

计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为，x^2+y^2+z^2=1的外侧。

运用高斯公式可得3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV,若把后面条件带入可得3∫∫∫dv=4π, 而运用球面坐标系可算的结果12π/5,答案是后者，为什么上面的做法不对？要考试了！跪求高手！呜呜。。。

Answer 1

因为用完
高斯公式
后是
三重积分
，三重积分的积分区域中x²+y²+z²≤1，并不等于1。因此不能用1来代替x²+y²+z²。
有个很简单的方法记住这个结论：只需记住
二重积分
和三重积分不可以用区域来
化简
被积函数，只有
曲线积分
和曲面积分可以。

Answer 2

不对吧，应该是∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy
？
提示：利用高斯公式，化为三重积分，这时被积函数为x^2+y^2+z^2，积分区域为x^2+y^2+z^2=a^2，用球面坐标，简单