Question

如图反比例函数y=k/x图象上意取4个点

如图,一条直线与反比例函数Y=K/X的图象交于A（1,4）B（4,N）两点,与X轴交于D点,AC⊥X轴,垂足为C．
（1）如图甲,①求反比例函数的解析式；②求N的值及D点坐标；
（2）如图乙,若点E在线段AD上运动,连结CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F点．
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时,直接写出F点坐标 ．

Answer 1

（1）①∵点A（1,4）在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为y=4 x ；
②∵点B（4,n）在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析明链式为y=mx+b
∵点A（1,4）和B（4,1）在一次函数y=mx+b的图象上
∴ m+b=4 4m+b=1 解得 m=-1 b=5
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0,得x=5
∴D点坐标为羡槐桥D（5,0）；
（2）①证明：∵A（1,4）,D（5,0）,AC⊥x轴
∴C（1,0）
∴AC=CD=4,
即∠ADC=∠CAD=45°,
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°,
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°,
∴∠ECD=∠AEF,
△CDE和△EAF的两角对应相等,
∴△兄猛CDE∽△EAF．
②当CE=FE时,由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4,DE=AF=4﹙根号 2 -1）,
∵A（1,4）,
∴F点的纵坐标=4-AF=4-4（ 根号2 -1）=8-4 根号2
∴F﹙1,8-4 根号2 ﹚
当CE=CF时,由∠FEC=45°知∠ACE=90°,此时E与D重合,
∴F与A重合,
∴F（1,4）
当CF=EF时,由∠FEC=45°知∠CFE=90°,显然F为AC中点,
∴F（1,2）
当△ECF为等腰三角形时,点F的坐标为F1(1,2)；F2(1,4)；F3(1,8-4 根号2 )