Question

如图,抛物线y=ax^2+bx+c经过点a(-3,0))

如图,抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)(1)求抛物线的解析式(2)设抛物线的顶点为D
DE垂直于x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得三角形ADM是直角三角形?求出M点的坐标

Answer 1

（1）y=ax^2 bx c 抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）,所以X轴另一个交点A（-1,0） 将A,B,C三点分别代入公式 0=a-b c 0=9a 3b c -3=c a=1,b=-2,c=-3 y=x^2-2x-3 （2） 设P（1,y） |PB|^2=y^2 4=4 (y=0时取得最小值4) |PC|^2=(y 3)^2 1=y^2 6y 10=(y 3)^2 1=1 （在y=-3时取得最小值1） |PB|-|PC|=√(y^2 4)-√(y^2 6y 10) 当|PB|=|PC|时能取得最小值0,不能取得最大值,最小时y=-1 （3） 平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,所以MN两点关于x=1对称 设圆的半径为R 所以M(1-R,R),N(1 R,R) 代入曲线方程 R=(1-R)^2-2(1-R)-3 R=(1 √17)/2,R=(1-√17)/2(舍去) 即圆的半径为(1 √17)/2