Question

我们知道：对于任意n∈N*有（1+2+3+…+n）2=13+23+…+n3成立，...

我们知道：对于任意n∈N*有（1+2+3+…+n）2=13+23+…+n3成立，尝试将此真命题进行推广：若数列{an}对于任意n∈N*有（a1+a2+a3+…+an）2=a13+a23+…+an3则称数列{an}具有”D性质” （1）若由三项非零数组成的数列a1，a2，a3具有”D性质”，求出所有满足条件的数列{an}； （2）若数列{bn}b1=1，且Sn=(n+1)bn2（n∈N*），则该数列具有”D性质”么？说明理由（Sn为数列前n项和）； （3）若数列{cn}c1=1，c2=2满足cn+12-cn+1=2Sn，（n∈N*）判断并证明该数列是否具有”D性质”．（Sn为数列前n项和）

Answer 1

解：（1）当n=1时a21=a31⇒a1=1；
当n=2时(a 1+a 2)2=a31+a32⇒a2=-1或2，
当n=3时(a 1+a 2+a3)2=a31+a32+a33⇒{a2=-1a3=1{a2=2a3=-2或 a3=3；
∴所有满足条件的数列{an}：a1=1，a2=-1，a3=1
或a1=1，a2=2，a3=-2或a1=1，a2=2，a3=3；
（2）Sn=(n+1)bn2，Sn-1=(n)bn-12（n∈N*，n＞1）⇒（n-1）bn=nbn-1
则bnn-bn-1n-1=0，即{bnn}为等差数列，且bn=n，则该数列具有”D性质”；
（3）{cn}具有”D性质”．运用数学归纳法证明如下：
1）当n=1时c12=c31，”D性质成立”；
2）假设当n=k（k∈N*）时有(c1+…+ck)2=c13+c23+…+ck3成立．
则当n=k+1时有(c1+…+ck+1)2=(Sk+ck+1)2=S2k+2ck+1Sk+c2k+1
=c13+c23+…+ck3+（ck+12-ck+1）ck+1+c2k+1=c13+c23+…+ck3+c3k+1
∴{cn}具有”D性质”．