Question

求定积分的导数 f(x)+2倍的定积分[上限为x,下限为0]f(t)dt=x的平方,求f(x)

Answer 1

f(x)+2∫(0到x) f(t) dt=x²
f'(x)+2f(x)=2x
即y'+2y=2x...①
y'+2y=0的通解是y=c₁e^(-2x)
y=ax+b,y'=a
代入①得a+2(ax+b)=2x
2ax+(a+2b)=2x
ax=2,a=1
a+2b=0,b=-1/2
∴f(x)=c₁e^(-2x)+x-1/2