Question

已知点F1、F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P...

已知点F1、F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d，若|PF1|、|PF2|、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）A．[2+3，+∞）B．（1，3)C．（1，2+3]D．[2，2+3]

Answer 1

解：∵|PF1|、|PF2|、d依次成等差数列，
∴|PF2|-|PF1|=d-|PF2|，
∵P为双曲线x2a2-y2b2=1右支上一点，（a＞0，b＞0）
∴|PF2|-|PF1|=-2a=d-|PF2|，
设双曲线的离心率是e，根据圆锥曲线的统一定义，
得到|PF2|d=e，所以d-|PF2|=d（1-e）=-2a
∴根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得：d=2ae-1≥a-a2c，
上式的两边都除以a，得：2e-1≥1-1e，解此不等式得：2-3≤e≤2+3
又∵双曲线的离心率e＞1，
∴e∈(1，2+3]
故选C