Question

已知函数f（x）=2根号3sinxcosx+2cos²x

Answer 1

f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x
= √3sin(2x) + cos(2x) +1
= 2( sin(2x)cos(π/6) + cos(2x)sin(π/6) ) +1
= 2sin(2x+π/6) +1
= 2sin[2(x+π/12)] +1
则：
(1)
周期 = 2kπ/2 = kπ （k∈Z），最小正周期 T =2π/2 = π
(2)
当sin[2(x+π/12)]取最大值1时，有： 2(x+π/12) = 2kπ+π/2
可解得： x =kπ+π/6
当k取0时，x=π/6 ∈(0, π/2)区间
因此函数f(x)在(0, π/2)区间可以取到最大值：fmax = 2*1+1 = 3

当sin[2(x+π/12)]取最小值-1时，有：2(x+π/12) = 2kπ+3π/2
可解得：x = kπ+2π/3
但当k取0与-1时，x=2π/3 与 x=-π/3均不在(0, π/2)区间内
因此sin[2(x+π/12)]在(0, π/2)区间取不到-1的理论最小值，
而只能在0和π/2两个边界点处尝试寻找最小值。
x=0时，sin[2(x+π/12)]= 1/2
x=π/2时，sin[2(x+π/12)]= -1/2
于是 sin[2(x+π/12)]的最小值是： -1/2
函数f(x)的最小值： fmin = 2*(-1/2)+1 = 0
综上可知，f(x)在(0, π/2)区间的值域是： (0, 3]
（看题面好像是开区间(0, π/2)，因此值域的下限也是开区间）

(3)
显然，f(x)的单调增区间就是sin[2(x+π/12)]的单调增区间。
前面已经分别求出了sin[2(x+π/12)]的极大值点和极小值点，于是容易知道：
单调递增区间是：[kπ+2π/3，kπ+7π/6]