Question

两个偶函数之和是偶函数,两个奇函数之积是奇函数?

如何证明
一两个偶函数之和是偶函数,两个奇函数之和是奇函数.
二两个偶函数之积是偶函数,两个奇函数之积是偶函数,偶函数和奇函数之积是奇函数?

Answer 1

设a(x)、b(x)是偶函数,则a(-x)=a(x),b(-x)=b(x);
c(x)、d(x)是奇函数,则c(-x)=-c(x),d(-x)=-d(x).
偶函数之和f(x)=a(x)+b(x),f(-x)=a(-x)+b(-x)=a(x)+b(x)=f(x),即两个偶函数之和是偶函数；
奇函数之和g(x)=c(x)+d(x),g(-x)=c(-x)+d(-x)=-c(x)-d(x)=-g(x),即两个奇函数之和是奇函数；
偶函数之积m(x)=a(x)b(x),m(-x)=a(-x)b(-x)=a(x)b(x)=m(x),即两个偶函数之积是偶函数；
奇函数之积n(x)=c(x)d(x),n(-x)=c(-x)d(-x)=(-c(x))(-d(x))=c(x)d(x)=n(x),即两个奇函数之积是偶函数；
偶函数和奇函数之积y(x)=a(x)c(x),y(-x)=a(-x)c(-x)=a(x)(-c(x))=-a(x)c(x)=-y(x),即偶函数和奇函数之积是奇函数.
证毕.