Question

设函数f(x)对于任意x∈R，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y）,且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2

若f(2x+5)+f(6-7x)＞4,求x的取值范围。

Answer 1

哈哈，做这种抽象函数的问题最简单的方法是：1.给X和Y赋其定义域中的特殊值（比如0,1，-1）；2.令Y=-X
带入关系式判断奇偶性。3.根据已知条件的定义域与值域的关系求解。 步骤如下：设X=0，Y=0可得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0
再设Y=-X,可得f(x-x)=f(X)+f(-x)=f(0)=0,可知f(x)为奇函数。由x＞0时，f(x)＜0可得在其定义域中f(x)为单调减函数。由f(1)=-2可得（用奇偶性特点）f(-1)=2,f(-2)=4,f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5+6-7x)>4,由单调性可得2x+5+6-7x<1,求得X>2注意：当求出f(-1)=2时，不能认为f(2x+5)>2，f(6-7x)>2就可以了。这样是错误的。求出来也是无解的。