Question

请教关于曲面积分的题目

求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2),∑是由曲面x^2+y^2=R^2以及两平面z=R,z=-R所围城的立体的外表面。
请问：投影怎么投。是x投影在yoz上，z^2投影在xoy上，还是如何投影呢？
谢谢。
这个题目因为是过平面的，所以如果把图形投影到平面上，应该怎么投影。比如把x^2+y^2投影到yoz平面上是什么？Z=R，和Z=-R投影到xoy平面上又是什么？
谢谢。

Answer 1

应该是可以的，如果你想确定，我可以帮你算一下，用么

知道了~∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)=∫∫(xdydz+z^2dxdy)/2R^2 )=2R^2 ∫∫(xdydz+z^2dxdy)=2R^2 ∫∫(xdydz+z^2dxdy)=2R^2 ∫∫∫（x对于x的偏微分+z^2对于z的偏微分）dxdydz=2R^2 ∫∫∫（1+2z）dxdydz
这里用到高斯公式或者转化成柱坐标作业是不错的选择。看不明白可以再问我

Answer 2

如果利用二型曲面积分定义(即投影法)去做会很烦琐
此题可以先利用点在曲面上得到x^2+y^2+z^2=2R^2
将被积函数化简,再利用高斯定理求解会很简单