Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）图象的相邻两对称轴间...

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）图象的相邻两对称轴间的距离为π2，若将函数f（x）的图象向左平移π6个单位后图象关于y轴对称． （Ⅰ）求使f（x）≥12成立的x的取值范围； （Ⅱ）设g(x)=-g′(π3)sin(12ωx)+3cos(12ωx)，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）=27，且π2＜x＜2π3，求cosx的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)图象的相邻两对称轴间的距离π2，
∴函数的周期T=π，ω=2ππ=2，∴f（x）=sin（2x+φ），
将f（x）的图象向左平移π6个单位后得到的函数为y=sin(2x+π3+φ)，
∵y=sin(2x+π3+φ)图象关于y轴对称，∴π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，又|φ|＜π2，
∴φ=π6，即f(x)=sin(2x+π6)．
由f(x)≥12得：sin(2x+π6)≥12，即2kπ+π6≤2x+π6≤2kπ+5π6(k∈Z)，
∴使f(x)≥12的x的取值范围是[kπ，kπ+π3](k∈Z)．
（Ⅱ）∵g(x)=-g′(π3)sin(12ωx)+3cos(12ωx)，∴g′(x)=-g′(π3)cosx-3sinx，
令x=π3得g′(π3)=-g′(π3)cosπ3-3sinπ3，
解得g′(π3)=-1，所以g(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)．
∵g(x)=27，∴sin(x+π3)=17，∵π2＜x＜2π3，∴5π6＜x+π3＜π，∴cos(x+π3)=-437，
∴cosx=cos(x+π3-π3)=-437×12+17×32=-3314．