Question

高中数学函数，第二题，求详解

Answer 1

设函数f(x)=
√(e^x+x-a)(a∈R,e为自然对数的底数）。若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使f(f(y0))=y0，则a的取值范围是（
解析：由正弦函数y=sinx知x∈R,y∈[-1,1]
∵函数f(x)=√(e^x+x-a)（算术根）
∴f(x)>=0，
又曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0成立，
设t=f(y0)==>f(t)=y0∈[0,1]
∴函数f(x)=√(e^x+x-a)的定义域、值域均为[0,1]（此结论是解本题的关键）
∴存在y0∈[0,1]，使f(y0)=y0成立，
即f(x)=x在[0,1]上有解，
√(e^x+x-a)=x==>e^x+x-x^2=a在[0,1]上有解．
令a(x)=e^x+x-x^2，则a为a(x)在[0,1]上的值域．
∵当x∈[0,1]时，a’(x)=e^x+1-2x＞0，∴函数a(x)在[0,1]上是增函数，
∴a(0)≤a(x)≤a(1)==>1≤a(x)≤e，
∴a的取值范围为：[1,e]．