Question

计算曲线积分∫Lsin2xdx+2(x^2-1)ydy，其中L是y＝sinx上从原点到(π，0)？

请问补线用格林公式怎么做

Answer 1

补充直线段L1 ：(π，0) -> (0, 0)
原积分 = ∫L+L1 sin2xdx+2(x^2-1)ydy - ∫L1 sin2xdx+2(x^2-1)ydy 旋转方向顺时针。
= ∫∫-4xy dxdy - 0
= -4∫[0,π] x dx ∫[0, sinx] ydy
= -2∫[0,π] x sin^2x dx
= ∫[0,π] x (cos2x - 1) dx
= -π^2 /2

Answer 2

记 A(π，0)。补充线段 AO， 成封闭图形。
I = ∫<L>sin2xdx+(2yx^2-2y)dy

= ∮<L+AO>sin2xdx+(2yx^2-2y)dy + ∫<OA>sin2xdx+(2yx^2-2y)dy
前者用格林公式， 后者 y = 0， dy = 0， 则
I = - ∫∫<D>4xydxdy + ∫<0, π>sin2xdx
= - ∫<0, π>2xdx∫<0, sinx>2ydy - (1/2)[cos2x]<0, π>
= - ∫<0, π>2x(sinx)^2dx - 0 = - ∫<0, π>x(1-cos2x)dx
= - ∫<0, π>xdx + (1/2)∫<0, π>xdsin2x
= -π^2/2 + (1/2)[xsin2x]<0, π> - (1/2)∫<0, π>sin2xdx
= -π^2/2 + (1/4)[cos2x]<0, π> = - (1/2)π^2

Answer 3

计算如图