Question

给出四个命题(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形;(2)若si...

给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形; (2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形; (3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形; (4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4

Answer 1

解答:解:(1)若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以(1)不正确;
(2)若sinA=cosB，例如sin100°=cos10°，则△ABC不是直角三角形，(2)不正确.
(3)根据正弦定理，
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，所以sin2A=
a2sin2B
b2
，同理，sin2C=
c2sin2B
b2
，
所以sin2A+sin2B+sin2C=
a2+b2+c2
b2
sin2B＜2，sinB≤1，
则
a2+b2+c2
b2
＜2，故a2+c2＜b2，所以它是钝角三角形，故(3)正确;
(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，
由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1
都是1显然成立，如果两个-1又不可能，所以命题是三角形为正三角形的充要条件，所以(4)正确.
故答案为:B