Question

求lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]

求lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]

解释一下题目,是求极限的题目

求当x趋近于0时,1+tanx开根号-(1+sinx开根号),再除以x*ln(1+x)-x的平方的极限

正确答案是-1/2

我不明白是怎么算出来的,请各位朋友帮忙解释一下

初步看一下,这题是0/0求极限,要用洛必达法则

但直接上下求导,然后再求极限,显然很困难,我觉得要用等价无穷小量的代换,不知是不是这样的

下面提供几组常用的等价无穷小量,方便大家做题

当x→0,有如下
sinx~x
tanx~x
1-cosx~(x^2)/2
n次√(1+x)-1~x/n
ln(1+x)~x
e^x-1~x

谢谢大家的帮忙

Answer 1

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2]
=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2]
洛必达法则
=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]
=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]
=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x]
洛必达法则
=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2]
=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]
=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)
=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)
=-1/2