Question

这个积分∫e^x(1+sinx)/(1+sin2x)dx如何计算?

Answer 1

解析如下：

令t=tan(x/2)，sinx=2t/(1+t^2)

原式=2∫e^(2arctant)*(1+t)^2*(1+t^4)/(1+t^2)^4dt=∫e^(2arctant)*kdt

∫(arctant)^n*kdt=(arctant)^n*k*t-∫k'(arctant)^ndt-∫k(arctant)^(n-1)*n/(1+t^2)

∫(arctant)^n=1/(k-k')*[(arctant)^n-n∫k*(arctant)^(n-1)/(1+t^2)]

于是得到递推式，从n推到0就完成积分，其中k=(1+t)^2*(1+t^4)/(1+t^2)^2

然后e^(2arctant)=∑(0,∞)(2^n/n!)(arctant)^n，代入上面逐项积分即可。

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。