Question

级数中一致收敛和收敛有什么区别?

Answer 1

从定义上看：

fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<e

fn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e

这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：

逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。

柯西准则：

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。