Question

高一数学题（函数）

设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>0时, f(x)<0,f(1)=-2

(1)试说明f（x）是奇函数.
(2)判断f（x）的单调性,并求f（x）再[-3,3]上的最大值与最小值.
(3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求X的取值范围．

拜托啦．各位．．帮我分析一下．过程帮我写出来．．．详细一点．．谢谢．．

Answer 1

1.f（x）=f（x+0）=f（x）+f（0）,可知f(0)=0
0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),可知f(-x)=-f(x)
2.设x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),因为x1>x2,所以x1-x2>0。又x>0时，f(x)<0。所以f(x1-x2)<0。故x>0时，f(x)单调递减。
f(-x1)-f(-x2)=f(-x1)+f(x2)=f(x2-x1)=-f(x1-x2)>0.因为x1>x2>0，所以
-x1<-x2<0。由此知x<0时，f(x)单调递减。
又当x>0时，f(x)<0=f(0)<-f(x)=f(-x),故f(x)在R上单调递减。
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6
因为f(x)在R上单调递减，所以f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)=6,最小值为f(3)=-6
3.f(-2)=-f(2)=-f(1+1)=-f(1)-f(1)=4
所以原式可化为f(11-5x)>f(-2).由f(x)的单调性可知，11-5x<-2,得x>13/5

Answer 2

解：(1)将x=0，y=0代入式子有，f（0）=f（0）+f（0），
f（0）=2*f（0），有f（0）=0；
令y=-x有f（0）=f（x）+f（-x)=0
即有，f(-x)=-f(x)
得证
（2）设x1,x2∈R,且不妨设x1>x2,则有
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)
因为x>0时，f(x)<0，
故有f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)是减函数
Fmin=f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6
Fmax=f(-3)=-f(3)=6
(3)f(2x+5)+f(6-7x)=f(11-5x)
由（2）知函数单调，而
2f(1)=f(2)=-4,
明显f(-2)=4
故不等式等价于
11-5x<-2
得x>5/13
这种题条件少点，得来回用，先把一眼就能推出来的东西先写下来，组合一下就可以了

Answer 3

f（x+y）=f（x）+f（y）,学过柯西函数方程的知道，用数学归纳法可以证明：满足上式的函数是线性函数，即f(x)=kx。在此用高中的知识解。
1.令x=y=0,求得，f(0)=0.
令y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,移项，
f(x)=-f(x)，是奇函数。
2.f(x)为减函数。设x1>x2,则x1-x2>0.则f(x1-x2)<0.
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(z1-x2)<0.所以f(x)为减函数。求值自己算吧。
3.先求当f(x)=4时，x的值。这时x=-2，由f(x)递减知：
f(2x+5)+f(6-7x)=f(11-5x)>4.11-5x<-2. 解得： x>13/5

Answer 4

(1) 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以,f(0)=0
从而0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)

(2)x1>x2,则x1-x2>0
所以,f(x1-x2)<0
即f(x1+(-x2))=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
所以,f单减
f在[-3,3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-{f(1)+f(1)+f(1)}=6,
f在[-3,3]上的最小值为f(3)=-f(-3)=-6.

(3)类似于上面求f(-3),可求出f(-2)=4
f(2x+5)+f(6-7x)>4,即f(2x+5)+f(6-7x)>f(-2)
即f(2x+5+6-7x)>f(-2)
f(-5x+11)>f(-2)
由单调性有,
-5x+11<-2
x>13/5

Answer 5

我回答！1，因为f（x+y）=f（x）+f（y）
令X=Y=0 知道f（0）=0
再令X=-Y代入得f（0）==f（x）+f（-X）=0
所以f（x）=-f（-X）
2，X1 ，X2在定义域内，且X1〉X2
则f（x1）-f（X2）=f（x1-X2）
因为x1-X2〉0 所以f（x1-X2）〈0
所以f（x1）-f（X2）〈0
所以是减函数
因为减函数f（3）=f（1）+f（1）+f（1）=-6
f（-3）=6
3，f(2x+5)+f(6-7x)>4=f（-3）+f（1）
所以可化简f（2x+5+6-7x）〉f（-2）
X〉13/5