Question

随机变量XY独立同分布于N~(0, 0.5), Z＝丨X-Y丨, 求E(Z)

方便算法是EZ=∫丨u丨f(u)du，U~N(0, 1)=X-Y，答案是EZ＝根号（2/π）
那么用传统算法EZ＝∫∫丨X-Y丨f(x, y)dxdy, f(x, y)~N(0, 0, 0. 5, 0. 5, 0)，和方便算法算得的EZ相等吗，请给出计算过程

Answer 1

分享一种解法。∵有限个独立同分布的正态分布的线性组合仍然服从正态分布，∴Z=X-Y~N(μ,δ²)，其中μ=1*0-1*0=0，δ²=1²*0.5+1²*0.5=1。即Z~N(0,1)。∴Z的密度函数f(z)=Ae^(-z²/2)，z∈R，A=1/√(2π)。
而，题中Z=丨X-Y丨，∴其密度函数为f(z)=2Ae^(-z²/2)，z≥0,、f(z)=0，z为其它。
∴E(Z)=∫(0,∞)zf(z)dz=2A=√(2/π)。

追问

方便算法是EZ=∫丨u丨f(u)du，U~N(0, 1)=X-Y，答案是EZ＝根号（2/π）
那么用传统算法EZ＝∫∫丨X-Y丨f(x, y)dxdy, f(x, y)~N(0, 0, 0. 5, 0. 5, 0)，和方便算法算得的EZ相等吗，请给出计算过程