勾股定理的证明
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直角三角形是三角形中的一个比较特殊的存在，其最大的特点就是任何直角三角形的一个角是90度，那么m这种特殊的三角形有什么属于自己的独特性质吗？
其实从三角形的内角和为180度这个性质，以及直角三角形必定出现一个直角这个定义，就可以找出一个关于直角三角形的特殊性质了，那就是：直角三角形剩余的两个锐角一定互余，因为本来三角形的三个内角和就只有180度，又已经有了一个90度的直角，那么剩下的两个角的和肯定也只能是90度了，但是，除了这个关于直角三角形角的性质以外，还有一些别的什么性质吗？直角三角形的边有什么性质？似乎凭空想是想不出来了，我于是随便画了几组直角三角形，并分别测量出了其三边的长度。
测量出三边的长度之后似乎也没有发现什么，但当我尝试将我画出的直角三角形的直角边的平方和计算出来，在把同一个直角三角形的斜边的平方算出来之后，简直是不试不知道，一试吓一跳，我画的第一个两个直角边分别为三和四的三角形，其斜边等于5，两个直角边之和的平方也就等于3x3+4x4=25，而这个三角形的斜边的平方5x5竟然也等于25！
那时候，我就意识到，我可能发现了一个新的性质了：直角三角形的两直角边的平方之和等于其斜边的平方，但是我画的这个直角三角形毕竟只是特例，所发现的性质也可能只是特殊的直角三角形所带来的呀。于是，我又去试了试底下的第二个直角三角形：这个三角形是一个等腰直角三角形，两直角边都是三，斜边经过测量为4.3。
3x3+3x3=18 ，4.3x4.3=18.49。奇怪了，为什么这个直角三角形的两条边的平方之和不等于其斜边的平方，而只是近似于其斜边的平方呢？难道我刚才所发现的性质真的只是特例而已？但我随即又想到，我们永远无法最准确地测量一个直角三角形的各边的度数，所以我测量的直角三角形的直角边和斜边的长度都是有误差的，是不是就是因为这个误差才导致最终的结果和我的猜想不符合呢？所以现在就直接宣判这个猜想是不正确的显然不太合适的，我于是想到了一个万年屡试不爽的方法：格子图。
不是说人工测量有误差吗？但是如果图形在一个一个格子中，我们以一个格子为单位，这误差又怎么可能出现呢？所以，我把直角三角形画在了一个格子图里（而且这个直角三角形也正好是我们在上面画出的等腰直角三角形，就是为了看看那误差是否还存在）这样这个直角三角形的一切都逃不过我的魔掌拉！同时，为了表示我的猜想：直角三角形的两直角边的平方之和等于其斜边的平方，我也顺带在直角三角形的各个边上用正方形表示了这个边的平方。
以上的图中的直角三角形，两个直角边都是三，我也因此快速地计算出了他们的平方之和：3x3+3x3=18，可是当我准备计算其斜边的平方时，却发现其斜边的平方无法通过数格子的方法测量，因为这条斜边刚好是穿过一各个格子的对角线的，又怎么办呢？可千万别忘了用来表示斜边的平方的那个大正方形啊，那个大正方形的边长就是斜边的长度，所以这个大正方形的面积也就是这个斜边的面积了，大正方形表面上来看好像也不能直接计算，可是我却可以用割补法啊，我很快发现，当沿着这大正方形的对角线横切，就会变成两个直角三角形，而这两个直角三角形的下底和高竟然是可以直接用数格子的方法得到的：分别是六和三，每个三角形的面积也就是6x3➗2=9，但由于有两个这样的三角形，其总面积，也就是大正方形的面积，也就是斜边的平方，便可以清清楚楚地得到了：=18，那么根据我们之前的计算，这个直角三角形的两直角边的平方也等于18，便在第一组尝试之中初步证实了我们的猜想。
一组的尝试显然是不够的，而且我们刚才用的还是等腰直角三角形这个在直角三角形中的特殊存在，于是我又试了试其他的直角三角形，发现全都符合我们的猜想。
那么，到现在为止，我们是否可以说我们已经证明了直角三角形的两直角边的平方和等于其斜边的平方呢？还是不行，为什么呢？因为就算我们在格子图中列举了很多组符合我们猜想的直角三角形，可是数量再多，在无穷无尽的直角三角形之中也只能算作是特例，因此我们还不能直接推断出直角三角形一定符合这种性质了，但怎么证明呢？可以参考一下我们之前证明性质使用的方法：由于字母是可以表示任何数的，我们就可以将证明的例图中一切的数值都变为字母，这样也就能代表任意一种可能了。
说到做到，我马上将格子中的直角三角形中的所有数值都替换成了字母，最终的成果也就是以上这幅图，如此，我们的直角三角形的两个直角边的长度就分别是a和b，而斜边的长度也就是c了。这时候，再根据我们的猜想分别将这个完全由字母代替数值的直角三角形的直角边的平方和斜边的平方算出来，可以得到a的平方，b的平方，c的平方，如果猜想成立的话，a的平方+b的平方就等于c的平方。
这个式子表面上看来没啥用，但是奥妙其实就是在C的平方上，能否用其他方式表示这个直角三角形的斜边的平方呢？当然可以，上图中，有一个大正方形ABC D的存在，而这个大正方形事由c的平方和四个完全相等的直角三角形（也就是我们正在算的直角三角形）构成的，如此，这个大正方形的边长也就很容易算出了，就是：
同时我们也可以计算出这个大正方形的周围的四个直角三角形的面积之和，这时候，奥妙就出现了，我们发现了，另一种可以表达c的平方的方式，只用将这个大正方形ABC D减去大正方形周围的四个小直角三角形就行了：
因此，我们可以发现一个等式：这个等式也就来源于表达。
然后化简这个等式，你就会发现，等式两边竟然是a的平方+b的平方=c的平方！
别忘了，a的平方和b的平方就是这个直角三角形的两个直角边的平方，c的平方也就是这个直角三角形的斜边的平方啊！由于字母是可以代表任何数的，所以我们的证明也是可以针对任何一个直角三角形，而我们的这个证明是在数值全字母的情况下，还是最终通过推理仍然推理出来我们的猜想：任意一个直角三角形的两个直角边平方之和等于几斜边的平方。所以这个猜想已经被证明了，成为了一个正儿八经的定理，而他的名字想必大家都很熟悉，那就是勾股定理。
其实从三角形的内角和为180度这个性质，以及直角三角形必定出现一个直角这个定义，就可以找出一个关于直角三角形的特殊性质了，那就是：直角三角形剩余的两个锐角一定互余，因为本来三角形的三个内角和就只有180度，又已经有了一个90度的直角，那么剩下的两个角的和肯定也只能是90度了，但是，除了这个关于直角三角形角的性质以外，还有一些别的什么性质吗？直角三角形的边有什么性质？似乎凭空想是想不出来了，我于是随便画了几组直角三角形，并分别测量出了其三边的长度。
测量出三边的长度之后似乎也没有发现什么，但当我尝试将我画出的直角三角形的直角边的平方和计算出来，在把同一个直角三角形的斜边的平方算出来之后，简直是不试不知道，一试吓一跳，我画的第一个两个直角边分别为三和四的三角形，其斜边等于5，两个直角边之和的平方也就等于3x3+4x4=25，而这个三角形的斜边的平方5x5竟然也等于25！
那时候，我就意识到，我可能发现了一个新的性质了：直角三角形的两直角边的平方之和等于其斜边的平方，但是我画的这个直角三角形毕竟只是特例，所发现的性质也可能只是特殊的直角三角形所带来的呀。于是，我又去试了试底下的第二个直角三角形：这个三角形是一个等腰直角三角形，两直角边都是三，斜边经过测量为4.3。
3x3+3x3=18 ，4.3x4.3=18.49。奇怪了，为什么这个直角三角形的两条边的平方之和不等于其斜边的平方，而只是近似于其斜边的平方呢？难道我刚才所发现的性质真的只是特例而已？但我随即又想到，我们永远无法最准确地测量一个直角三角形的各边的度数，所以我测量的直角三角形的直角边和斜边的长度都是有误差的，是不是就是因为这个误差才导致最终的结果和我的猜想不符合呢？所以现在就直接宣判这个猜想是不正确的显然不太合适的，我于是想到了一个万年屡试不爽的方法：格子图。
不是说人工测量有误差吗？但是如果图形在一个一个格子中，我们以一个格子为单位，这误差又怎么可能出现呢？所以，我把直角三角形画在了一个格子图里（而且这个直角三角形也正好是我们在上面画出的等腰直角三角形，就是为了看看那误差是否还存在）这样这个直角三角形的一切都逃不过我的魔掌拉！同时，为了表示我的猜想：直角三角形的两直角边的平方之和等于其斜边的平方，我也顺带在直角三角形的各个边上用正方形表示了这个边的平方。
以上的图中的直角三角形，两个直角边都是三，我也因此快速地计算出了他们的平方之和：3x3+3x3=18，可是当我准备计算其斜边的平方时，却发现其斜边的平方无法通过数格子的方法测量，因为这条斜边刚好是穿过一各个格子的对角线的，又怎么办呢？可千万别忘了用来表示斜边的平方的那个大正方形啊，那个大正方形的边长就是斜边的长度，所以这个大正方形的面积也就是这个斜边的面积了，大正方形表面上来看好像也不能直接计算，可是我却可以用割补法啊，我很快发现，当沿着这大正方形的对角线横切，就会变成两个直角三角形，而这两个直角三角形的下底和高竟然是可以直接用数格子的方法得到的：分别是六和三，每个三角形的面积也就是6x3➗2=9，但由于有两个这样的三角形，其总面积，也就是大正方形的面积，也就是斜边的平方，便可以清清楚楚地得到了：=18，那么根据我们之前的计算，这个直角三角形的两直角边的平方也等于18，便在第一组尝试之中初步证实了我们的猜想。
一组的尝试显然是不够的，而且我们刚才用的还是等腰直角三角形这个在直角三角形中的特殊存在，于是我又试了试其他的直角三角形，发现全都符合我们的猜想。
那么，到现在为止，我们是否可以说我们已经证明了直角三角形的两直角边的平方和等于其斜边的平方呢？还是不行，为什么呢？因为就算我们在格子图中列举了很多组符合我们猜想的直角三角形，可是数量再多，在无穷无尽的直角三角形之中也只能算作是特例，因此我们还不能直接推断出直角三角形一定符合这种性质了，但怎么证明呢？可以参考一下我们之前证明性质使用的方法：由于字母是可以表示任何数的，我们就可以将证明的例图中一切的数值都变为字母，这样也就能代表任意一种可能了。
说到做到，我马上将格子中的直角三角形中的所有数值都替换成了字母，最终的成果也就是以上这幅图，如此，我们的直角三角形的两个直角边的长度就分别是a和b，而斜边的长度也就是c了。这时候，再根据我们的猜想分别将这个完全由字母代替数值的直角三角形的直角边的平方和斜边的平方算出来，可以得到a的平方，b的平方，c的平方，如果猜想成立的话，a的平方+b的平方就等于c的平方。
这个式子表面上看来没啥用，但是奥妙其实就是在C的平方上，能否用其他方式表示这个直角三角形的斜边的平方呢？当然可以，上图中，有一个大正方形ABC D的存在，而这个大正方形事由c的平方和四个完全相等的直角三角形（也就是我们正在算的直角三角形）构成的，如此，这个大正方形的边长也就很容易算出了，就是：
同时我们也可以计算出这个大正方形的周围的四个直角三角形的面积之和，这时候，奥妙就出现了，我们发现了，另一种可以表达c的平方的方式，只用将这个大正方形ABC D减去大正方形周围的四个小直角三角形就行了：
因此，我们可以发现一个等式：这个等式也就来源于表达。
然后化简这个等式，你就会发现，等式两边竟然是a的平方+b的平方=c的平方！
别忘了，a的平方和b的平方就是这个直角三角形的两个直角边的平方，c的平方也就是这个直角三角形的斜边的平方啊！由于字母是可以代表任何数的，所以我们的证明也是可以针对任何一个直角三角形，而我们的这个证明是在数值全字母的情况下，还是最终通过推理仍然推理出来我们的猜想：任意一个直角三角形的两个直角边平方之和等于几斜边的平方。所以这个猜想已经被证明了，成为了一个正儿八经的定理，而他的名字想必大家都很熟悉，那就是勾股定理。
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