Question

绝对值不等式的解法

Answer 1

解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，绝对值不等式的解法有几何意义法、讨论法、平方法以及函数图像法。

绝对值不等式的几种解法

（一）几何意义法

例如：求不等式|x|＜1的解集

不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，

所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（二）讨论法

例如：求不等式|x|＜1的解集

①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，∴0≤x＜1。

②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，∴-1＜x＜0。

综上所述，不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（三）平方法

例如：求不等式|x|＜1的解集

把原不等式的两边平方可以得到：x ² ＜1，即x ² -1＜0，即（x+1）（x-1）＜0

即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（四）函数图像法

例如：求不等式|x|＜1的解集

从函数观点看，不等式|x|＜1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

绝对值不等式的性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

两个重要性质：

1、|ab|=|a||b|

|a/b|=|a|/|b|（b≠0）

2、|a|<|b|可逆推出|b|>|a|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|