证明:1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)
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定义f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2
则f'(x)=1+arshx
注意ln(x+√1+x^2)=arshx以及(arshx)'=1/√1+x^2
考虑到(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0
故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数
f(x)>f(0)=0
即在R+上恒有1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)
则f'(x)=1+arshx
注意ln(x+√1+x^2)=arshx以及(arshx)'=1/√1+x^2
考虑到(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0
故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数
f(x)>f(0)=0
即在R+上恒有1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)
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