第三讲 一元函数积分学
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核心考点:
1.定义
2.计算(多做积分题)
3.应用
一、定义
1.不定积分
全体原函数就叫不定积分 原函数族
2.定积分
面积值(数)
牛顿—莱布尼兹公式(目标:找F(X))
二、计算(四大方法)
1.凑微分法(要速度)
①基本积分公式(熟稔于心)
[例1]分子零次 把积分中的某些复杂部分扔到后边去
[例2]分子一次 同做法
[例3]被积函数f(x)越复杂⇒我们越高应
①先对复杂部分求导 ②再凑微分
[例4]同上
2.换元法
当凑微分不成功时,考虑还原(复杂⇒简单)
①三角换元(三种情况,注意区间)
[注]根号下存在二次和一次,化为上三种情况再做相应处理
②倒代换(x=1/t)(可用于次数明显低于分母次数)
③复杂部分代换(令复杂部分=t)
[例1][例2]注意回带
3.分部积分法
难积分⇒易积分
反、对、幂、指或三(排前的求导,排后的积分)
[例1]分母含根号,且不易换元
[例2]
[注]不定积分不同做法所得答案可能不同,求导回去看看是不是f(x)
4.有理函数的积分
①定义
②方法:
1°将分母因式分解
2°将被积函数拆成若干最简有理分式之和
③拆分原则(无二次,有二次)
[例1]
[注]在恒等式中以x的任何值代入⇒均应相等
[例2]比较前边的系数
三、定积分的计算
①先按四大基本积分法求出F(X)
②代入上下限(只不过要注意换元法时的细节)(三换)
[注]令√x=t,而不是令x=t2
[例2]用分部积分法证明出华氏公式(点火公式)
[例3]
四、一元积分学的应用(几何)——重在计算(暑假之前积分计算要炉火纯青,登峰造极)
1.用积分表达和计算平面图形的面积
[例1]椭圆形面积abπ
[例2]
2.用积分表达和计算旋转体体积
①绕x轴转
②绕y轴转(可用柱壳法)
[例]两种做法
3.用积分表达和计算函数的平均值
[例]求平均值
1.定义
2.计算(多做积分题)
3.应用
一、定义
1.不定积分
全体原函数就叫不定积分 原函数族
2.定积分
面积值(数)
牛顿—莱布尼兹公式(目标:找F(X))
二、计算(四大方法)
1.凑微分法(要速度)
①基本积分公式(熟稔于心)
[例1]分子零次 把积分中的某些复杂部分扔到后边去
[例2]分子一次 同做法
[例3]被积函数f(x)越复杂⇒我们越高应
①先对复杂部分求导 ②再凑微分
[例4]同上
2.换元法
当凑微分不成功时,考虑还原(复杂⇒简单)
①三角换元(三种情况,注意区间)
[注]根号下存在二次和一次,化为上三种情况再做相应处理
②倒代换(x=1/t)(可用于次数明显低于分母次数)
③复杂部分代换(令复杂部分=t)
[例1][例2]注意回带
3.分部积分法
难积分⇒易积分
反、对、幂、指或三(排前的求导,排后的积分)
[例1]分母含根号,且不易换元
[例2]
[注]不定积分不同做法所得答案可能不同,求导回去看看是不是f(x)
4.有理函数的积分
①定义
②方法:
1°将分母因式分解
2°将被积函数拆成若干最简有理分式之和
③拆分原则(无二次,有二次)
[例1]
[注]在恒等式中以x的任何值代入⇒均应相等
[例2]比较前边的系数
三、定积分的计算
①先按四大基本积分法求出F(X)
②代入上下限(只不过要注意换元法时的细节)(三换)
[注]令√x=t,而不是令x=t2
[例2]用分部积分法证明出华氏公式(点火公式)
[例3]
四、一元积分学的应用(几何)——重在计算(暑假之前积分计算要炉火纯青,登峰造极)
1.用积分表达和计算平面图形的面积
[例1]椭圆形面积abπ
[例2]
2.用积分表达和计算旋转体体积
①绕x轴转
②绕y轴转(可用柱壳法)
[例]两种做法
3.用积分表达和计算函数的平均值
[例]求平均值
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