Question

第三讲 一元函数积分学

Answer 1

核心考点：

1.定义

2.计算（多做积分题）

3.应用

一、定义

1.不定积分

全体原函数就叫不定积分  原函数族

2.定积分

面积值（数）

牛顿—莱布尼兹公式（目标：找F(X)）

二、计算（四大方法）

1.凑微分法（要速度）

①基本积分公式（熟稔于心）

［例1］分子零次  把积分中的某些复杂部分扔到后边去

［例2］分子一次  同做法

［例3］被积函数f(x)越复杂⇒我们越高应

①先对复杂部分求导  ②再凑微分

［例4］同上

2.换元法

当凑微分不成功时，考虑还原（复杂⇒简单）

①三角换元（三种情况，注意区间）

［注］根号下存在二次和一次，化为上三种情况再做相应处理

②倒代换（x=1/t）（可用于次数明显低于分母次数）

③复杂部分代换（令复杂部分=t）

［例1］［例2］注意回带

3.分部积分法

难积分⇒易积分

反、对、幂、指或三（排前的求导，排后的积分）

［例1］分母含根号，且不易换元

［例2］

［注］不定积分不同做法所得答案可能不同，求导回去看看是不是f（x）

4.有理函数的积分

①定义

②方法：

1°将分母因式分解

2°将被积函数拆成若干最简有理分式之和

③拆分原则（无二次，有二次）

［例1］

［注］在恒等式中以x的任何值代入⇒均应相等

［例2］比较前边的系数

三、定积分的计算

①先按四大基本积分法求出F(X)

②代入上下限（只不过要注意换元法时的细节）（三换）

［注］令√x=t，而不是令x=t2

［例2］用分部积分法证明出华氏公式（点火公式）

［例3］

四、一元积分学的应用（几何）——重在计算（暑假之前积分计算要炉火纯青，登峰造极）

1.用积分表达和计算平面图形的面积

［例1］椭圆形面积abπ

［例2］

2.用积分表达和计算旋转体体积

①绕x轴转

②绕y轴转（可用柱壳法）

［例］两种做法

3.用积分表达和计算函数的平均值

［例］求平均值