线性代数的问题 证明:若A是n阶实对称矩阵,则存在正定矩阵B,使得A=B^2
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你这证明题是不是有问题啊?
A应该是要求正定吧?
否则考虑N=1,A=任意负数,则也不存在这样的B啊.
如果A是正定,证明如下:
证明:
因为A实对称,所以A能对角化,得到:P*C*P^(-1),
因为A正定,所以C的对角元都是正的.
考虑C为如下形式:DIAG(A1,A2,...,AN)
则取C1为:DIAG(A1^(1/2),A2^(1/2),...AN^(1/2))
则,C1^2=C
取B=P*C1*P^(-1),
则B*B=P*C1*P^(-1)*P*C1*P^(-1)=P*C1*C1*P^(-1)=P*C*P^(-1)=A.
A应该是要求正定吧?
否则考虑N=1,A=任意负数,则也不存在这样的B啊.
如果A是正定,证明如下:
证明:
因为A实对称,所以A能对角化,得到:P*C*P^(-1),
因为A正定,所以C的对角元都是正的.
考虑C为如下形式:DIAG(A1,A2,...,AN)
则取C1为:DIAG(A1^(1/2),A2^(1/2),...AN^(1/2))
则,C1^2=C
取B=P*C1*P^(-1),
则B*B=P*C1*P^(-1)*P*C1*P^(-1)=P*C1*C1*P^(-1)=P*C*P^(-1)=A.
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