Question

设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关.则α1可以用β,α2,α3线性表出,为什么

Answer 1

用定义：
因为β,α1,α2线性相关 所以 存在不全为零的数使得α1=k1*β+k2*α2(k1 k2不全为零)
而β,α2,α3线性无关,根据定义,不存在不全为零的数使得β=k3*α2+k4*α3(k3 k3都不为零)
那么α1=k1*β+k2*α2=k1*(k3*α2+k4*α3)+k2*α2=(k1*k3+k2)*α2+k1*k4*α3
不妨设k1=0,那k20
α1=k1*β+k2*α2=k1*(k3*α2+k4*α3)+k2*α2=(k1*k3+k2)*α2+k1*k4*α3=k2*α2+0*β+0*α3 根据定义α1可以用β,α2,α3线性表出
如果设k2=0,那么k10
α1=k1*β+k2*α2=k1*(k3*α2+k4*α3)+k2*α2=(k1*k3+k2)*α2+k1*k4*α3==(k1*k3)*α2+k1*k4*α3+0*β
根据定义α1可以用β,α2,α3线性表出