Question

有理函数积分拆项技巧

Answer 1

拆项时使用待定系数法，

以分母中的一次项和无实数根的二次项，为因式分解分母，然后待定系数法求出对应的分子即可。

个人感觉题主可能更多是不明白分解之后做什么，比如第一题就不再需要分解了。

一次项的积分目测题主没什么问题，以下为无实数根的二次项的积分方式

1）如果分子也为二次项（甚至更高），使用多项式长除法。从分子中分解出一个多项式，分别积分。

2）如果分子为一次项，把分子分解成 分母的导数+常数的形式。

第一部分用凑微分处理，第二部分化成arctan的形式处理。

有理函数的积分拆分方法：

积分函数 f(x) = (x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]

用待定系数法，设分拆成以下有理分式 f(x) = A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)^2。

通分得 f(x) = [A(x+1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x-1)] / [(x-1)(x+1)^2]

= [(A+B)x^2 + (2A+C)x + (A-B-C)] / [(x-1)(x+1)^2]

与原式比较，分母同，分子中 x 同次幂的系数必然相同，得A+B = 1, 2A+C = 0, A-B-C = 1, 联立解得 A = B = 1/2, C = -1,

则 f(x) = (1/2)[1/(x-1) + 1/(x+1)] - 1/(x+1)^2。

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。