Question

秦九韶公式求三角形面积

Answer 1

秦九韶公式求三角形面积公式如下：

表达式 S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 。其中，a，b，c为三角形的三边，p=(a+b+c)/2。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

推导过程如下（为方便起见，仅以锐角三角形为例推导）：

假设三角形三边为a，b，c，c边对应的高为h。

则根据勾股定理：

√(a²-h²)+√(b²-h²)=c

即√(a²-h²)=c-√(b²-h²)

两边同时平方

a²-h²=c²-2c√(b²-h²)+b²-h²

2c√(b²-h²)=c²+b²-a²

4c²b²-4c²h²=(c²+b²-a²)²

(2cb-c²-b²+a²)(2cb+c²+b²-a²)=4c²h²

(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²)=4c²h²

(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)=4c²h²

则

S=ch/2

=√[(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)]/4

令a+b+c=2P

则

a-b+c=2P-2b

a+b-c=2P-2c

b+c-a=2P-2a

则

S=√[(2P-2b)(2P-2c)(2P-2a)2P]/4

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 

边长为13，14，15的三角形的面积为S。

=√(21×(21-13)×(21-14)×(21-15))

=√(21×8×7×6)

=84